Définition :
Soit \(E\) un espace vectoriel et \(U\) un ouvert de \(E\)
Un champ de vecteurs sur \(U\) est une application \(F\) de \(U\) dans \(E\), définie par ses \(n\) fonctions composantes : $$F:\begin{bmatrix}x_1\\ \vdots\\ x_n\end{bmatrix}\longmapsto\begin{bmatrix}F_1(x_1,\ldots,x_n)\\ \vdots\\ F_n(x_1,\ldots,x_n)\end{bmatrix}$$
(Espace vectoriel, Ouvert)
Analyse des EDO
Définition :
On appelle le champ de vecteurs le vecteurs des composantes de \(F(x,y)\) au point \((x,y)\)
Notation
Les champs vectoriels engendrés par \(e_1\) et \(e_2\) sont respectivement notés \(\frac\partial{\partial x}\) et \(\frac\partial{\partial y}\)
(Vecteur unitaire - Vecteur unité)
Théorèmes et propriétés
Loi de transformation
Loi de transformation :
L'écriture du champ de vecteur \(\frac\partial{\partial x}\) dans la base des champs de vecteurs donnée par \(\frac\partial{\partial a}\) et \(\frac\partial{\partial b}\) est donnée par : $${{\frac\partial{\partial x(a,b)} }}={{\frac{\partial a}{\partial x}\frac\partial{\partial a}+\frac{\partial b}{\partial x}\frac\partial{\partial b} }}$$
(Changement de base, Dérivée partielle)
Lien avec les opérateurs différentiels
La fonction dérivée de \(f\) dans la direction donnée par le champ de vecteurs \(V\) est donnée par : $${{V.f}}={{\left( V_x\frac{\partial}{\partial x}+V_y\frac\partial{\partial y}\right)(f)}}$$
(Opérateur différentiel)
Utilisation
On peut retrouver les trajectoires empruntées par les objets dans un champ de vecteurs en l'intégrant
(Intégrale - Intégration)
